【題目】在三棱錐各棱所在的6條直線上,互相垂直的最多有兒對?(每兩條組成一對)

【答案】6

【解析】

分三步證明最多有6對互相垂直的直線.

(1)6對是可以達(dá)到的.

當(dāng)時,由線面垂直的性質(zhì)有,,.

又由三垂線定理,有.這就得出6對互相垂直的直線(如圖所示).

(2)8對是不可能的.

由于一個三角形的內(nèi)角中最多有一個直角,最少有兩個銳角,所以4個面三角形至少有8個銳角,又由6條直線可以組成對直線,知,互相垂直的直線不超過7對.

(3)7對是不可能的.

若不然,有7對垂直直線,因異面直線只有3對,故至少有4對垂直直線是共面的,

得三棱錐的4個表面都必須是直角三角形(得4對).

進(jìn)而3對成異面直線的棱也互相垂直.

此時,三棱錐的一個頂點(diǎn)在所對面上的射影必是該三角形的垂心,

而直角三角形的垂心就是直角頂點(diǎn),所以這個三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,且垂足就是垂面三角形的頂點(diǎn)(圖中,).

這時底面三角形直角頂點(diǎn)的對面為銳角三角形(為銳角三角形),與4個面均為直角三角形矛盾.

綜上得,互相垂直的直線最多有6對.

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A.B.C.D.

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