Question

【題目】2017年10月，舉世矚目的中國共產(chǎn)黨第十九次全國代表大會在北京順利召開．某高中為此組織全校2000名學(xué)生進行了一次“十九大知識知多少”的問卷測試（滿分：100分），并從中抽取了40名學(xué)生的測試成績，得到了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求圖中實數(shù)的值及樣本中40名學(xué)生測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）（i）利用分層抽樣的方法從成績低于70分的三組學(xué)生中抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人分析成績不理想的原因，求前2組中至少有1人被抽到的概率；

（2）以頻率估計概率，試估計該校這次測試成績不低于80分的學(xué)生人數(shù)．

Answer 1

【答案】（1），平均數(shù)74，中位數(shù)75（2），700

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圖中所有小矩形的面積之和等于1，解得；根據(jù)組中值與對應(yīng)區(qū)間概率乘積的和計算平均數(shù)，根據(jù)中位數(shù)定義計算中位數(shù)，（2）先根據(jù)分層抽樣得前3組學(xué)生分別抽取1人，2人，4人，再利用枚舉法確定基本事件總數(shù)，從中確定前2組中至少有1人被抽到的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率；先求不低于80分的頻率，再乘以總數(shù)得頻數(shù)，即為測試成績不低于80分的學(xué)生人數(shù)．

試題解析：解：（1）由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，

所以，解得，

故樣本中40名學(xué)生的測試成績的平均數(shù)，

設(shè)這40名學(xué)生的測試成績的中位數(shù)為，由于前3組頻率之和為0.35，前4組頻率之和為0.65，故中位數(shù)落在第4組，于是有，解得．

即這40名學(xué)生的測試成績的中位數(shù)為75．

（2）（i）由分層抽樣知識可知，前3組學(xué)生分別抽取1人，2人，4人，記第1小組的1名學(xué)生為，第2小組的2名學(xué)生分別為， ，第3組的4名學(xué)生分別為， ， ， ，從中任取2人的所有可能結(jié)果為： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共21種，

其中前2組中至少有1人被抽到的可能結(jié)果為： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15種，

故所求的概率．

（ii）樣本中測試成績不低于80分的頻率為，將0.35視為頻率值，

則該校這次測試成績不低于80分的學(xué)生人數(shù)約為．