Question

已知函數(shù)f（x）=3x²+1，g（x）=2x，數(shù)列{a_n}滿足對于一切n∈N^*有a_n＞0，且．數(shù)列{b_n}滿足，設(shè)．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（3）若k+l=M₀（M₀為常數(shù)），求數(shù)列{a_n}從第幾項起，后面的項都滿足a_n＞1．

Answer 1

解：（1）∵
∴
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為3．
（2）
所以數(shù)列是以為首項，公差為log_a3的等差數(shù)列．
又
又，且k+l=5
∵
∴
（3）∵k+l=M₀
∴
假設(shè)第m項后有a_n＞1
∵
即第m項后，
于是原命題等價于
∵m，M∈N^*?m=M₀故數(shù)列{a_n}從M₀+1項起滿足a_n＞1．
分析：（1）通過計算f（a_n+1）-f（a_n）=g（a_n+1+），結(jié)合已知條件可得：6a_n=2a_n+1，從而得出數(shù)列{a_n}為公比為3的等比數(shù)列．
（2）由對數(shù)的運算性質(zhì)，得，所以數(shù)列是以為首項，公差等于log_a3的
等差數(shù)列．
（3）由k+l=M₀得出初始值：，由等差數(shù)列的通項公式得出，假設(shè)第m項后有a_n＞1
且第m項后，得出m滿足，此時可得當m=M₀故數(shù)列{a_n}從M₀+1項起滿足a_n＞1．
點評：本題考查了等差和等比數(shù)列的綜合，以及數(shù)列與不等式相結(jié)合等等知識點，屬于難題．解題時請注意對數(shù)式的處理，和利用派生數(shù)列研究題中要求數(shù)列的技巧運用．