Question

2．設(shè)正數(shù)列{a_n}的前{a_n}項(xiàng)和為n，且2$\sqrt{S_n}$=a_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若數(shù)列b_n=$\frac{{{a_n}+3}}{2}$，設(shè)T_n為數(shù)列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n項(xiàng)的和，求T_n．
（3）若T_n≤λb_n+1對一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件，利用數(shù)列的性質(zhì)，推導(dǎo)出$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，a₁=1，從而得到S_n=n²，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求出b_n的通項(xiàng)公式，再根據(jù)列項(xiàng)求和即可求出求T_n．
（3）將λ分離出來得λ≥$\frac{n}{2（{n}^{2}+4n+4）}$，利用基本不等式即可求出．

解答 解：（1）∵正數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=2$\sqrt{S_n}$-1，
∴S_n=S_n-1+a_n=S_n-1+2$\sqrt{S_n}$-1，
∴S_n-1=（$\sqrt{S_n}$-1）²，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，
∵a₁=2$\sqrt{{a}_{1}}$+1，解得a₁=1，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+n-1=n，
∴S_n=n²，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時，2n-1=1=a₁，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{{{a_n}+3}}{2}$=$\frac{2n-1+3}{2}$=n+1，
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2n+4}$
（3）T_n≤λb_n+1對一切n∈N^*恒成立，
∴$\frac{n}{2n+4}$≤λ（n+2），
∴λ≥$\frac{n}{2（{n}^{2}+4n+4）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+4}$≥$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{4}{n}}}$$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{4}{n}}+4}$=$\frac{1}{16}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時取等號，
故實(shí)數(shù)λ的最小值為$\frac{1}{16}$

點(diǎn)評 本題主要考查了恒成立問題，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)和裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題．