Question

11．為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校決定在每周的同一時(shí)間開(kāi)設(shè)《數(shù)學(xué)史》、《生活中的數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》、《數(shù)學(xué)建模》四門(mén)校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門(mén)校本課程中隨機(jī)選一門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時(shí)互不影響，且每一課程都是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率；
（2）設(shè)X為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理總事件數(shù)是4³，滿足條件的事件數(shù)是A₄³，利用古典概率計(jì)算公式即可得出．
（Ⅱ）設(shè)X為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，則X=0，1，2，3．P（ξ=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}$；P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}×{3}^{2}}{{4}^{3}}$；P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}×3}{{4}^{3}}$；P（ξ=3）=$\frac{1}{{4}^{3}}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理總事件數(shù)是4³，滿足條件的事件數(shù)是A₄³，
∴3個(gè)學(xué)生選擇了3門(mén)不同的選修課的概率：P₁=$\frac{{A}_{4}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{3}{8}$
（Ⅱ）設(shè)X為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，則X=0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$；
P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}×{3}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$；
P（X=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}×3}{{4}^{3}}$=$\frac{9}{64}$；
P（X=3）=$\frac{1}{{4}^{3}}$=$\frac{1}{64}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴期望Eξ=0×$\frac{27}{64}$+1×$\frac{27}{64}$+$2×\frac{9}{64}$+3×$\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分步計(jì)數(shù)原理、古典概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．