Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，a_n+1=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+（4n+6）}{n}$，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{n}$．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且c_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{a}_{n}+2}$．求證：n≥2時(shí)，S_n²≥2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$）．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+（4n+6）}{n}$，可得a_n+1+2=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+（4n+6）}{n}$+2=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+（6n+6）}{n}$，可得$\frac{{a}_{n+1}+2}{n+1}$=$\frac{3（{a}_{n}+2）}{n}$，即可證明．
（II）由（I）可得：a_n+2=n×3^n-1，可得c_n=$\frac{1}{n}$．可得${s}_{n}^{2}-{s}_{n-1}^{2}$=$\frac{1}{n}$（s_n+s_n-1）=$2\frac{{s}_{n}}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$，利用“累加求和”方法可得：${s}_{n}^{2}$=2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$）-$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$+1．n≥2時(shí)，要證明：S_n²≥2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$）．只要證明：1-$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$≥0即可．利用n≥2時(shí)，$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，即可證明．

解答 證明：（I）∵a_n+1=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+（4n+6）}{n}$，∴a_n+1+2=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+（4n+6）}{n}$+2=$\frac{（3n+3）{a}_{n}+（6n+6）}{n}$，∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{n+1}$=$\frac{3（{a}_{n}+2）}{n}$，即b_n+1=3b_n，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為3，∴b_n=3^n-1．
（II）由（I）可得：a_n+2=n×3^n-1，
∴c_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{a}_{n}+2}$=$\frac{{3}^{n-1}}{n•{3}^{n-1}-2+2}$=$\frac{1}{n}$．∴${s}_{n}^{2}-{s}_{n-1}^{2}$=（s_n+s_n-1）（s_n-s_n-1）=$\frac{1}{n}$（s_n+s_n-1）=$\frac{1}{n}（{s}_{n}+{s}_{n}-\frac{1}{n}）$=$2\frac{{s}_{n}}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴${s}_{n}^{2}$=（${s}_{n}^{2}-{s}_{n-1}^{2}$）+$（{s}_{n-1}^{2}-{s}_{n-2}^{2}）$+…+$（{s}_{2}^{2}-{s}_{1}^{2}）$+${s}_{1}^{2}$
=$2\frac{{s}_{n}}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$+$2\frac{{s}_{n-1}}{n-1}$-$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+…+$2\frac{{s}_{2}^{2}}{2}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$+1=2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$）-$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$+1．
n≥2時(shí)，要證明：S_n²≥2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$）．
∴只要證明：1-$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$≥0即可．
即證明$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$≤1．
∵n≥2時(shí)，$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=1-$\frac{1}{n}$＜1成立．
因此：n≥2時(shí)，S_n²≥2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累加求和”方法、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．