Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1和定點A（6，0），O是坐標原點，動點P在橢圓C移動，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{PB}$，點D是線段PB的中點，直線OB與AD相交于點M，設$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）求點M的軌跡E的方程，如果E是中心對稱圖形，那么類比圓的方程用配方求對稱中心的方法，求軌跡E的對稱中心；如果E不是中心對稱圖形，那么說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出$\overrightarrow{OM}$=$λ\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}$，從而$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OA}$，再由A，M，D三點共線，能求出λ的值．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），M（x，y），推導出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3}{2}（x-4）}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}y}\end{array}\right.$，由點P（x₀，y₀）在橢圓C上，能求出點M軌跡E也是橢圓，對稱中心為（4，0）．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$λ\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}$，
又∵點D是線段PB的中點，且$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{PB}$，
∴$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OA}$，
∵A，M，D三點共線，$\frac{1}{2}λ+λ=1$，解得$λ=\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），M（x，y），
由（Ⅰ）知，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OP}$=（4+$\frac{2}{3}{x}_{0}$，$\frac{2}{3}{y}_{0}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{2}{3}{x}_{0}}\\{y=\frac{2}{3}{y}_{0}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3}{2}（x-4）}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}y}\end{array}\right.$，
∵點P（x₀，y₀）在橢圓C上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
∴$\frac{1}{4}$（x-4）²+$\frac{9}{16}{y}^{2}$=1，
即點M軌跡E也是橢圓，對稱中心為（4，0）．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意中點坐標公式、相關點法的合理運用．