Question

7．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，過右焦點向其漸近線作垂線，與兩條漸近線分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則三角形AOB的面積是（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c和漸近線方程，運用點到直線的距離公式可得右焦點F到垂足A的距離為1，以及OA的長，運用正切函數的定義可得AB的長，再由三角形的面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的a=$\sqrt{3}$，b=1，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，
漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
右焦點F（2，0）到漸近線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的距離為
|AF|=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}$=1，
可設|FA|=1，可得|OA|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|AF{|}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
由∠AOB=60°，可得|AB|=$\sqrt{3}$tan60°=3，
則△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程的運用，考查點到直線的距離公式，以及運算能力，屬于中檔題．