Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設函數(shù)在點處的切線為，直線與軸相交于點.若點的縱坐標恒小于1，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，，，            1分

所以，當時，；當時，；              3分

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．              4分

（Ⅱ）因為，

所以處切線的斜率，

所以切線的方程為，

令，得 .                                     5分

當時，要使得點的縱坐標恒小于1，

只需，即.                     6分

令，

則，                                                      7分

因為，所以，

①若即時，，

所以，當時，，即在上單調(diào)遞增，

所以恒成立，所以滿足題意.                            8分

②若即時，，

所以，當時，，即在上單調(diào)遞減，

所以，所以不滿足題意.                                9分

③若即時，.

則、、的關系如下表：

		0
	遞減	極小值	遞增

所以，所以不滿足題意.                    11分

綜合①②③，可得，當時，時，

此時點的縱坐標恒小于1.                                                  12分

考點：本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．

點評：導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，求解函數(shù)單調(diào)性、極值、最值時，不要漏掉函數(shù)的定義域，另外，一般含參數(shù)的問題離不開分類討論，分類討論時要做到分類標準不重不漏.