已知（m，n）是
x2
9
+
y2
4
=1上的點(diǎn)，則
1
m2
+
1
n2
的最小值是
 
．
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（m，n）是橢圓上的點(diǎn)，所以
m2
9
+
n2
4
=1，所以可設(shè)m=3sinα，n=2cosα，所以
1
m2
+
1
n2
=
sin2α+cos2α
9sin2α
+
sin2α+cos2α
4cos2α
=
13
36
+(
cosα
3sinα
)2+(
sinα
2cosα
)2≥
25
36
，所以就求出了
1
m2
+
1
n2
的最小值．
解答： 解：由已知條件知，
m2
9
+
n2
4
=1；
∴設(shè)m=3sinα，n=2cosα；
∴
1
m2
+
1
n2
=
1
9sin2α
+
1
4cos2α
=
sin2α+cos2α
9sin2α
+
sin2α+cos2α
4cos2α
=
1
9
+
1
4
+
cos2α
9sin2α
+
sin2α
4cos2α
≥
13
36
+
1
3
=
25
36
；
當(dāng)
cosα
3sinα
=
sinα
2cosα
，即tanα=±
6
3
時(shí)取“=”．
故答案為：
25
36
．
點(diǎn)評(píng)：考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及sin2α+cos2α=1，基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b時(shí)取“=”．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，2c cosB=2a-
3
b．
（I）求C；
（Ⅱ）若cosB=
2
3
，求cosA的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a、b、c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ac，則△ABC一定是（　�。�
A、等邊三角形
B、直角三角形
C、銳角三角形
D、鈍角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，（
2
a-c）cosB=bcosC，cos2A+1-
8
5
cosA=0，則tan（
π
4
+A）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

P為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左右焦點(diǎn)，若∠F1PF2=60°．
（1）求△F1PF2的面積；
（2）求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求過三點(diǎn)A（1，4），B（-2，3），C（4，-5）的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）在[0，3]上單調(diào)遞增，且對(duì)于任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（3-y）+f（3-x）f（y）
（1）求f（0）和f（1）的值；
（2）求證：f（x）為周期函數(shù)；
（3）求滿足不等式f（4x+1）≥
1
2
的實(shí)數(shù)x的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x2-alnx，則f（x）在[1，+∞）上的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a=
∫
π
2
-
π
2
cosxdx，則(ax2-
1
x
)5的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案