Question

P為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點，若∠F₁PF₂=60°．
（1）求△F₁PF₂的面積；
（2）求P點的坐標．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由橢圓的定義可得m+n=2a=10，由余弦定理可得：8²=m²+n²-2mncos60°=（m+n）²-3mn=100-3mn，解得mn．再利用三角形的面積計算公式即可得出．
（2）設(shè)P（x，y），可得kPF1=

y

x+4

，kPF2=

y

x-4

，由于∠F₁PF₂=60°．可得

y x+4 - y x-4

1+ y2 x2-16

=±tan60°=±

3

，化為-8y=±

3

（x²+y²-16），與

x2

25

+

y2

9

=1聯(lián)立解得即可．

解答： 解：（1）由橢圓

x2

25

+

y2

9

=1可得a=5，b=3，c=4．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
則m+n=2a=10，
由余弦定理可得：8²=m²+n²-2mncos60°=（m+n）²-3mn=100-3mn，
解得mn=12．
∴△F₁PF₂的面積S=

1

2

mnsin60°=3

3

．
（2）設(shè)P（x，y），則

x2

25

+

y2

9

=1．F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）．
∴kPF1=

y

x+4

，kPF2=

y

x-4

，
∵∠F₁PF₂=60°．
∴

y x+4 - y x-4

1+ y2 x2-16

=±tan60°=±

3

，
化為-8y=±

3

（x²+y²-16），與

x2

25

+

y2

9

=1聯(lián)立解得：(±

5 13

4

，

3 3

4

)，(±

5 13

4

，-

3 3

4

)．

點評：本題考查了橢圓的定義及其標準方程、余弦定理、三角形的面積計算公式、到角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．