Question

6．在銳角△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a²=b²+bc，則$\frac{a}$的取值范圍是（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可得c=b（1+2cosA），從而可求$\frac{a}$=$\sqrt{2+2cosA}$，由A的范圍，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求$\frac{a}$的范圍．

解答 解：∵△ABC中，a²=b²+bc，
又∵由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+bc=b²+c²-2bccosA，整理可得：c=b（1+2cosA），
∴a²=b²+b²（1+2cosA）=b²（2+2cosA），
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2+2cosA}$＞0，
∴A＞B
∴A是銳角△ABC中的最大角或是第二大角，
∵在銳角△ABC中，A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），cosA∈（0，$\frac{1}{2}$），可得：2+2cosA∈（2，3），
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2+2cosA}$∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故答案為：（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．