Question

4．已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=$\frac{1}{4}$，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．求：
（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用a₁=$\frac{1}{4}$且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列列出表達(dá)式計(jì)算可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公差均為$\frac{1}{4}$的等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=16（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則d≠0，
∵a₁=$\frac{1}{4}$，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴（$\frac{1}{4}$+d）²=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$+3d），
整理得：d（1+4d）=0，
解得：d=$\frac{1}{4}$或d=0（舍），
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公差均為$\frac{1}{4}$的等差數(shù)列，
∴其通項(xiàng)公式a_n=$\frac{n}{4}$；
（2）由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{16}{n（n+1）}$=16（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=16（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=16（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{16n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．