Question

7．如圖所示，四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M為PC的中點(diǎn)，PC=$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求證：PC⊥AD；
（Ⅱ）求三棱錐M-PAB的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：連結(jié)AC，推導(dǎo)出PC⊥AM，PC⊥DM，從而PC⊥平面AMD，由此能證明PC⊥AD．
法二：取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OC，AC，推導(dǎo)出OC⊥AD，OP⊥AD，從而AD⊥平面POC，由此能證明PC⊥AD．
（Ⅱ）由${V}_{M-PAB}=\frac{1}{2}{V}_{P-ABC}$，能求出三棱錐M-PAB的體積．

解答 證明：（Ⅰ）證法一：連結(jié)AC，
由已知得△PAD，△ACD均為正三角形，PA=AC，PD=CD，
∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴PC⊥AM，PC⊥DM，
又AM，DM?平面AMD，AM∩DM=M，
∴PC⊥平面AMD，
又AD?平面AMD，∴PC⊥AD．
證法二：取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OC，AC，
由已知得△PAD，△ACD均為正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，
又OC∩OP=O，OC，OP?平面POC，
∴AD⊥平面POC，
又OP?平面POC，∴PC⊥AD．
解：（Ⅱ）∵${V}_{M-PAB}=\frac{1}{2}{V}_{P-ABC}$，PO=OC=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{6}$，
∴PO²+OC²=PC²，∴PO⊥OC，
又OP⊥AD，OC∩AD=O，OC，AD?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
又${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐M-PAB的體積${V}_{M-PAB}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×PO$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．