Question

17．設(shè)θ∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$．
（1）求sinθ的值；
（2）求sin（2θ+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（θ+$\frac{π}{6}$），將θ變形為（θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$，將θ+$\frac{π}{6}$看作整體，利用兩角差的正弦函數(shù)公式計(jì)算即可．
（2）由（1）可求cosθ，利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解．

解答 解：（1）∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$．
∴θ+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（θ+\frac{π}{6}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinθ=sin[（θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（θ+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（θ+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$．
（2）由（1）可得：cosθ=cos[（θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（θ+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（θ+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$，
可得：sin（2θ+$\frac{π}{6}$）=sin[（θ+$\frac{π}{6}$）+θ]=sin（θ+$\frac{π}{6}$）cosθ+cos（θ+$\frac{π}{6}$）sinθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$+$\frac{1}{3}×$$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$=$\frac{4\sqrt{6}+7}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角差和與差的三角函數(shù)公式應(yīng)用．關(guān)鍵是角的代換，是技巧，也是通用的方法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．