Question

已知圓O：x²+y²=2，直線l：x+2y-4=0，點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線l上．若存在圓C上的點(diǎn)Q，使得∠OPQ=45°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則x₀的取值范圍是（　　）

• A、[0，1]
• B、[0，

  8

  5

  ]
• C、[-

  1

  2

  ，1]
• D、[-

  1

  2

  ，

  8

  5

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：根據(jù)條件若存在圓C上的點(diǎn)Q，使得∠OPQ=45°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），等價(jià)PO≤2即可，求出不等式的解集即可得到x₀的范圍

解答： 解：圓O外有一點(diǎn)P，圓上有一動點(diǎn)Q，∠OPQ在PQ與圓相切時(shí)取得最大值．
如果OP變長，那么∠OPQ可以獲得的最大值將變小．可以得知，當(dāng)∠OPQ=45°，且PQ與圓相切時(shí)，PO=2，
而當(dāng)PO＞2時(shí)，Q在圓上任意移動，∠OPQ＜45°恒成立0．
因此滿足PO≤2，就能保證一定存在點(diǎn)Q，使得∠OPQ=45°，否則，這樣的點(diǎn)Q是不存在的；
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線x+2y-4=0上，∴x₀+2y₀-4=0，即y₀=

4-x0

2

∵|OP|²=x₀²+y₀²=x₀²+（

4-x0

2

）²=

5

4

x₀²-2x₀+4≤4，
∴

5

4

x₀²-2x₀≤0，
解得，0≤x₀≤

8

5

，
∴x₀的取值范圍是[0，

8

5

]
故選：B

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合判斷出PO≤2，從而得到不等式求出參數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．