Question

12．已知橢圓$\frac{y^2}{a^2}$+$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），過點A（b，0），B（0，-a）的直線傾斜角為$\frac{π}{3}$，原點到該直線的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于零的直線過D（0，1）與橢圓交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）兩點，且x₁=-2x₂，求直線EF的方程．

Answer 1

分析 （1）運用兩點的斜率公式，可得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，求得直線AB的方程，運用點到直線的距離公式，可得a，進而得到b，可得橢圓方程；
（2）設直線EF的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，消去y，可得x的二次方程，運用韋達定理，結合條件，解方程可得k=1，進而得到所求直線的方程．

解答 解：（1）過點A（b，0），B（0，-a）的直線傾斜角為$\frac{π}{3}$，
可得k_AB=$\frac{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
即有直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$x-a，
原點到該直線的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得$\frac{a}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
則橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{3}$+x²=1；
（2）設直線EF的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，可得
（k²+3）x²+2kx-2=0，△=4k²+8（k²+3）＞0恒成立，
由E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{2}{3+{k}^{2}}$，又x₁=-2x₂，
即有x₂=$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$，x₁=-$\frac{4k}{3+{k}^{2}}$，
可得-$\frac{8{k}^{2}}{（3+{k}^{2}）^{2}}$=-$\frac{2}{3+{k}^{2}}$，
解得k=1（-1舍去）．
則直線EF的方程為y=x+1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用直線的斜率公式和點到直線的距離公式，考查直線方程的求法，注意運用聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．