已知函數(shù)f(x)=1-
1x2
．
（Ⅰ）證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）用函數(shù)的單調(diào)性定義證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
分析：（Ⅰ）利用偶函數(shù)的定義即可證明；
（Ⅱ）設(shè)0＜x1＜x2，根據(jù)增函數(shù)的定義只需通過作差證明f（x2）＞f（x1）；
解答：證明：（Ⅰ）由已知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈={x∈R|x≠0}．
設(shè)x∈D，則-x∈D，f(-x)=1-
1
(-x)2
=1-
1
x2
=f(x)．
所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)x1，x2是（0，+∞）上的兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，且x1＜x2，
則△x=x2-x1＞0，△y=f(x2)-f(x1)=1-
1
x
2
2
-(1-
1
x
2
1
)
=
1
x
2
1
-
1
x
2
2
=
x
2
2
-
x
2
1
x
2
1
x
2
2
=
(x2-x1)(x2+x1)
x
2
1
x
2
2
．
因?yàn)?＜x1＜x2，所以x2+x1＞0，x2-x1＞0，
所以△y＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷證明，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類問題的基本方法．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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