Question

18．若函數(shù)f（x）=（x-2）²|x-a|在區(qū)間[2，4]恒滿足不等式xf′（x）≥0，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，5]
• B． [2，5]
• C． [2，+∞）
• D． （-∞，2]∪[5，+∞）

Answer 1

分析 寫出分段函數(shù)f（x），然后分別利用導函數(shù)在[2，4]上大于等于0求解a的取值范圍．

解答 解：∵在區(qū)間[2，4]恒滿足不等式xf′（x）≥0，
∴f′（x）≥0恒成立
∵f（x）=（x-2）²|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}（x-a），x≥a}\\{（x-2）^{2}（a-x），x＜a}\end{array}\right.$，
當x≥a時，f（x）=（x-2）²（x-a），f′（x）=（x-2）（3x-2-2a）
要使f′（x）≥0在[2，4]上恒成立，則3x-2-2a≥0在[2，4]上恒成立，
即2a≤3x-2在[2，4]上恒成立，得2a≤4-2，解得a≤2，
當x＜a時，f（x）=（x-2）²（a-x），f′（x）=（x-2）（-3x+2+2a），
要使f′（x）≥0在[2，4]上恒成立，則-3x+2+2a≥0在[2，4]上恒成立，
即2a≥3x-2在[2，4]上恒成立，得2a≥3×4-2，解得a≥5，
綜上，函數(shù)f（x）=（x-2）²|x-a|在區(qū)間[2，4]恒滿足不等式xf′（x）≥0，則實數(shù)a的取值范圍是a≤2或a≥5．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，著重考查了分類討論的數(shù)學思想方法，屬中檔題．