Question

8．某培訓機構對沈陽市兩所高中的學生是否愿意參加自主招生培訓的情況進行問卷調查和考試測驗，從兩所學校共隨機抽取100位同學進行調查，統(tǒng)計結果如表：

自招 學校	愿意	不愿意
A學校	46	10
B學校	24	20

（1）判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為是否愿意參加自主招生培訓與學校有關？
（2）考試測驗中分客觀題和主觀題，客觀題共有8道，每道分值5分，學生李華答對每道客觀題的概率均為0.8．主觀題共有8道，每道分值12分，須隨機抽取5道主觀題作答，其中李華完全會答的有4道，不完全會的有4道，不完全會的每道主觀題得分S的概率滿足：P（S=3k）=$\frac{k}{6}$，k=1，2，3，假設解答各題之間沒有影響．
①對于一道不完全會的主觀題，李華得分的數(shù)學期望是多少？
②求李華在本次測驗中得分ξ的數(shù)學期望．
臨界值參考表：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

參考公式：k=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)可得K²的觀測值，與臨界值比較，即可得出結論；
（2）①直接利用公式，可得李華得分的數(shù)學期望；
②直接利用公式求出E（X），E（Y），即可求出李華在本次測驗中得分ξ的數(shù)學期望．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得K²的觀測值：$k=\frac{{100×{{（46×20-24×10）}^2}}}{70×30×44×56}≈8.936$
因為8.936＞6.635，所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為愿意參加自主招生培訓與學校有關…（4分）
（2）①由題意$E（S）=3×\frac{1}{6}+6×\frac{2}{6}+9×\frac{3}{6}=7$（分）…（6分）
②設李華答對客觀題的個數(shù)為隨機變量X，李華抽取的5道主觀題中完全會答的個數(shù)為隨即變量Y，
完全會答的為5-Y，則依據(jù)題意有：X～B（8，0.8），Y服從參數(shù)為8，4，5的超幾何分布，
于是  E（X）=8×0.8=6.4，$E（Y）=\frac{4×5}{8}=2.5$…（9分）
因為ξ=5X+12Y+7（5-Y）=5X+5Y+35，…（10分）
所以Eξ=E（5X+5Y+35）=5E（X）+5E（Y）+35=79.5（分）…（12分）

點評 本題主要考查獨立性檢驗知識，考查了離散型隨機變量的期望與方差，以及離散型隨機變量及其分布列，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．