Question

如圖，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=4，AB=2CD=8
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面BCE；
（Ⅲ）求四棱錐C-ABEF的體積．

Answer 1

解：（I）∵四邊形ABEF為矩形，
∴AF∥BE，BE?面BCE，AF?面BCE，
∴AF∥面BCE．
（II）過C作CM⊥AB，∵AD⊥DC，∴四邊形ADCM為矩形，
∴AM=MB=4，又AD=4，AB=2CD=8，∴AC==4，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，∴BE⊥AB，
又AB=平面ABEF∩平面ABCD，
∴BE⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，
∴BE⊥AC，又BE?平面BCE，AC⊥BC，BC?平面BCE
∴AC⊥平面BCE．
（III）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，CM⊥AB，CM?平面ABCD，
∴CM⊥平面ABEF，∴四棱錐C-ABEF的高為CM，
∴四棱錐C-ABEF的體積=．
分析：（I）由圖中，四邊形ABEF為矩形，從而有AF∥BE，結(jié)合線面平行的判定定理可得AF∥面BCE；
（II）過C作CM⊥AB，利用勾股定理的你逆定理得到AC⊥BC，結(jié)合平面ABEF⊥平面ABCD及面面垂直的性質(zhì)定理可得BE⊥平面ABCD，進(jìn)而BE⊥AC，再由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCE；
（III）由平面ABEF⊥平面ABCD，CM⊥AB，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得CM⊥平面ABEF，即CM為三棱錐的高，計(jì)算出CM的長及底面三角形的面積，代入棱錐體積公式可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中（II）的關(guān)鍵是熟練掌握面面垂直，線面垂直及線線垂直的相互轉(zhuǎn)化，（III）的關(guān)鍵是判斷出棱錐的高和底面面積．