Question

已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值.設(shè).
（1）若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；
（2）如何取值時，函數(shù)存在零點，并求出零點.

Answer 1

（1）或；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）先設(shè)點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式將表示為為自變量的函數(shù)，利用基本不等式求出相應(yīng)的最小值，然后列方程求出的值；（2）令，將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為求方程的根，對首項系數(shù)的符號進(jìn)行分類討論，以及在首項系數(shù)不為零時對的符號進(jìn)行分類討論，從而確定函數(shù)在定義域上是否存在零點，并且在零點存在的前提下利用求根公式求出相應(yīng)的零點值.
試題解析：（1）依題可設(shè) ()，則；
又的圖像與直線平行        
， ，
設(shè)，則

當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，即取得最小值
當(dāng)時，  解得 
當(dāng)時，  解得
（2）由()，得  
當(dāng)時，方程有一解，函數(shù)有一零點；
當(dāng)時，方程有二解，
若，，
函數(shù)有兩個零點，即；
若，，
函數(shù)有兩個零點，即；
當(dāng)時，方程有一解,  ,
函數(shù)有一零點
綜上，當(dāng)時, 函數(shù)有一零點；
當(dāng)()，或（）時，
函數(shù)有兩個零點；
當(dāng)時，函數(shù)有一零點.
考點：1.兩點間的距離公式；2.基本不等式；3.分類討論；4.一元二次方程的求解