已知函數(shù),其中是實(shí)數(shù),設(shè)為該函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn),且.
⑴指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑵若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直,且,求的最小值;
⑶若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合,求的取值范圍.
(1)單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;(2)1;(3).
解析試題分析:(1)根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)知,分段函數(shù)在時(shí)是二次函數(shù)的一部分,有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間:增區(qū)間,減區(qū)間,時(shí)是對(duì)數(shù)函數(shù),只有一個(gè)單調(diào)增區(qū)間;(2)對(duì)函數(shù)圖象來(lái)講,它在某點(diǎn)處的切線斜率等于該函數(shù)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),故有,由于,兩點(diǎn)在軸的左邊,,因此有,顯然有,可以表示為關(guān)于的函數(shù),從而求出最小值(,應(yīng)用基本不等式即可得解)也可以直接湊配出基本不等式的形式,=利用基本不等式);(3)這里我們首先分析所處范圍,結(jié)合圖象易知不可能在同一單調(diào)區(qū)間,只能是,那么我們可得出兩點(diǎn)處的切線方程分別為,,兩條切線相同,則有,于是可把表示為(或者)的函數(shù),把求匠范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.
試題解析:(1)單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為4分
(2),
當(dāng)時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/8d/2/a20io.png" style="vertical-align:middle;" />,所以.8分
∴
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
∴的最小值為1.10分
(3)當(dāng)或時(shí),,故
當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線方程為
即
當(dāng)時(shí),函數(shù)在切線方程為
兩切線重合的充要條件是13分
由①及知
由①②得
又,與在都為減函數(shù).
∴16分
考點(diǎn):(1)單調(diào)區(qū)間;(2)函數(shù)圖象的切線及基本不等式;(3)切線與函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3+ax-2,(aR).
(l)若f(x)在區(qū)間(1,+)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若,且f(x0)=3,求x0的值;
(3)若,且在R上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
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是定義在上的函數(shù)
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:是其定義域上的增函數(shù).
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已知且,函數(shù),,記.
(Ⅰ)求函數(shù)的定義域及其零點(diǎn);
(Ⅱ)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù)是奇函數(shù),且.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并用定義加以證明.
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湖南省環(huán)保研究所對(duì)長(zhǎng)沙市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時(shí)刻x的關(guān)系為,其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù),且,若用每天的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù),并記作.
(Ⅰ)令,求t的取值范圍;
(Ⅱ)省政府規(guī)定,每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過(guò)2,試問(wèn)目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)?
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已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),。
(1)求的函數(shù)解析式,并用分段函數(shù)的形式給出;
(2)作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖;
(3)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值.
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設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/1f/5/k7j2i1.png" style="vertical-align:middle;" />的奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)若,且在上的最小值為,求的值.
(3)若,試討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進(jìn)行開(kāi)發(fā)建設(shè),陰影部分為一公共設(shè)施建設(shè)不能開(kāi)發(fā),且要求用欄柵隔開(kāi)(欄柵要求在一直線上),公共設(shè)施邊界為曲線的一部分,欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn),交曲線于點(diǎn),設(shè).
(1)將△(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積表示成的函數(shù);
(2)若在處,取得最小值,求此時(shí)的值及的最小值.
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