Question

5．設(shè)F₁、F₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{t{a}^{2}}$=1（a＞0，t＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₁且且傾斜角為30°的直線與雙曲線的右支相交于點(diǎn)P，若|PF₂|=|F₁F₂|，則t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的焦點(diǎn)，由條件可得∠PF₂F₁=120°，求得|PF₁|，再由雙曲線的定義和離心率公式計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{t{a}^{2}}$=1的焦點(diǎn)為F₁（-c，0），
由于|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
由∠PF₁F₂=30°，則∠PF₂F₁=120°，
則有|PF₁|=2$\sqrt{3}$c，
由雙曲線的定義可得，|PF₁|=2a+2c，
由2$\sqrt{3}$c=2a+2c，即有a=（$\sqrt{3}$-1）c，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
由c²=（1+t）a²，
又c²=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）a²，
可得t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，運(yùn)用定義是解本題的關(guān)鍵．