Question

10．在數(shù)列{a_n}中，${a_1}=\sqrt{2}$，且對任意n∈N^*，都有${a_{n+1}}=\sqrt{\frac{a_n^2+2}{3}}$．
（1）計算a₂，a₃，a₄，由此推測{a_n}的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明；
（2）若${b_n}={（{-2}）^n}（{{a_n}^4-{a_n}^2}）（{n∈{N^*}}）$，求無窮數(shù)列{b_n}的各項之和與最大項．

Answer 1

分析 （1）由${a_1}=\sqrt{2}$，且對任意n∈N^*，都有${a_{n+1}}=\sqrt{\frac{a_n^2+2}{3}}$．可得a₂=$\sqrt{\frac{（\sqrt{2}）^{2}+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$，a₃=$\sqrt{\frac{10}{9}}$，a₄=$\sqrt{\frac{28}{27}}$．由此推測{a_n}的通項公式，a_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}$．再利用數(shù)學歸納法證明即可得出．
（2）${b_n}={（{-2}）^n}（{{a_n}^4-{a_n}^2}）（{n∈{N^*}}）$，可得b_n=$3（\frac{-2}{3}）^{n}$+9$（\frac{-2}{9}）^{n}$，利用等比數(shù)列的前n項和公式可得：無窮數(shù)列{b_n}的各項之和T_n．

解答 解：（1）∵${a_1}=\sqrt{2}$，且對任意n∈N^*，都有${a_{n+1}}=\sqrt{\frac{a_n^2+2}{3}}$．
∴a₂=$\sqrt{\frac{（\sqrt{2}）^{2}+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$，a₃=$\sqrt{\frac{\frac{4}{3}+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{10}{9}}$，a₄=$\sqrt{\frac{\frac{10}{9}+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{28}{27}}$．
由此推測{a_n}的通項公式，a_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}$．
下面利用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，a₁=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{0}}}$=$\sqrt{2}$成立；
②假設當n=k∈N^*時，a_k=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{k-1}}}$．
則n=k+1時，a_k+1=$\sqrt{\frac{{a}_{k}^{2}+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{1+\frac{1}{{3}^{k-1}}+2}{3}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{k+1-1}}}$，
因此當n=k+1時也成立，
綜上：?n∈N^*，a_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}$成立．
（2）${b_n}={（{-2}）^n}（{{a_n}^4-{a_n}^2}）（{n∈{N^*}}）$，
∴b_n=（-2）ⁿ$（1+\frac{1}{{3}^{n-1}}）×\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$3（\frac{-2}{3}）^{n}$+9$（\frac{-2}{9}）^{n}$，
∴無窮數(shù)列{b_n}的各項之和T_n=$3×\frac{-\frac{2}{3}[1-（-\frac{2}{3}）^{n}]}{1-（-\frac{2}{3}）}$+$9×\frac{-\frac{2}{9}[1-（-\frac{2}{9}）^{n}]}{1-（-\frac{2}{9}）}$=$-\frac{6}{5}$$[1-（-\frac{2}{3}）^{n}]$-$\frac{18}{11}$$[1-（-\frac{2}{9}）^{n}]$=$\frac{18}{11}（-\frac{2}{9}）^{n}$+$\frac{6}{5}（-\frac{2}{3}）^{n}$-$\frac{156}{55}$．
當n=2k（k∈N^*）時，T_n=$\frac{18}{11}（\frac{2}{9}）^{2k}$+$\frac{6}{5}（\frac{2}{3}）^{2k}$-$\frac{156}{55}$，T_n單調遞減，因此當n=2時，取得最大值T₂=$-\frac{20}{9}$．
當n=2k-1（k∈N^*）時，T_n=$-\frac{18}{11}$×$（\frac{2}{9}）^{n}$-$\frac{6}{5}×（\frac{2}{3}）^{n}$-$\frac{156}{55}$，T_n單調遞增，且T_n＜0．
綜上可得：T_n的最大項為T₂=$-\frac{20}{9}$．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式、數(shù)學歸納法、猜想能力、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．