Question

已知橢圓(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(，1)，離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)P(，0)，若A，B為已知橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，試問(wèn)直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn)，若恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(1)  (2) 直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

解析試題分析：(1) 橢圓(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(，1) , 
且有 ，通過(guò)解方程可得從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2) 設(shè)當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為
由 
另一方面：
 
通過(guò)以上兩式就不難得到關(guān)于的等式，從而探究直線是否過(guò)定點(diǎn)；
至于直線AB斜率不存在的情況，只需對(duì)上面的定點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)即可.
試題解析：
解：(1)由題意得①
因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以②
又③
由①②③解得
所以橢圓方程為.                              4分
(2)解：①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為
代入，消去整理得            6分
由得（*）
設(shè)則
所以， 
=                 8分
得 

整理得 
從而 且滿(mǎn)足（*）
所以直線的方程為                      10分
故直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)                           2分
②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，若直線為 ，此時(shí)點(diǎn) 、 的坐標(biāo)分別為
 、，亦有                12分
綜上，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).                        13分
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、向量的數(shù)量積；3、直線與橢圓的位置關(guān)系.