Question

【題目】函數(shù)f（x）=ln（x+m）﹣nlnx．
（1）當(dāng)m=1，n＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）n=1時，函數(shù)g（x）=（m+2x）f（x）﹣am，若存在m＞0，使得g（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=ln（x+1）﹣nlnx．（x∈（0，+∞））．

f′（x）= ﹣ = ．

①當(dāng)n=1時，f′（x）= ，此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．

②當(dāng)0＜n＜1時，由f′（x）＜0，解得 ，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．

③當(dāng)1＜n時，由f′（x）＜0，解得x＞0，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．

（2）n=1時，函數(shù)g（x）=（m+2x）f（x）﹣am=（m+2x）[ln（x+m）﹣lnx]﹣am，（x＞0）．

由g（x）＞0可得： ＞0，即 ﹣a ＞0，

設(shè) =t＞1．∴（t+1）lnt﹣a（t﹣1）＞0，lnt﹣ ＞0．

令h（t）=lnt﹣ ，（t＞1）．h′（t）= ，h（1）=0．

①a≤2時，t2+2（1﹣a）t+1≥t2﹣2t+1＞0．∴h′（t）＞0，

可得函數(shù)h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．可得h（t）＞h（1）=0．

②a＞2時，h′（t）=0，即t2+2（1﹣a）t+1=0，

解得t1=a﹣1﹣ ，t2=a﹣1+ ，

由t2＞1，t1t2=1，可得t1＜1．∴函數(shù)h（t）在（1，t2）上單調(diào)遞減，

∴h（t）＜h（1）=0．舍去．

綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是a≤2．

【解析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系列出不等式求解即可。（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)h（t）討論該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)a在不同區(qū)間上時原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可得出滿足題意的a的取值范圍。
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．