Question

【題目】如圖，焦點在x軸的橢圓，離心率e= ，且過點A（﹣2，1），由橢圓上異于點A的P點發(fā)出的光線射到A點處被直線y=1反射后交橢圓于Q點（Q點與P點不重合）．

（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：直線PQ的斜率為定值；
（3）求△OPQ的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓方程為 ，

∵橢圓經(jīng)過點（﹣2，1），

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴橢圓方程為

（2）證明：設(shè)直線AP方程為y=k（x+2）+1，則直線AQ的方程為y=﹣k（x+2）+1

由 可得（1+2k2）x2+4k（2k+1）x+8k2+8k﹣4=0，△＞0，

設(shè)P（x1，y1），由A（﹣2，1）可得 ，

∴P（ ， ），

同理可得Q（ ， ），

∴kPQ=﹣1

（3）由（2），設(shè)PQ的方程為y=﹣x+m，代入橢圓方程得：3x2﹣4mx+2m2﹣6=0．

令△＞0，得﹣3＜m＜3，

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則 ，

∴

設(shè)原點O到直線的距離為d，則 ，

∴ ，

當(dāng) 時，△OPQ面積的最大值為

【解析】（1）設(shè)出橢圓的方程利用離心率且過點A求出幾何量即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）設(shè)出直線的方程分別與橢圓的方程聯(lián)立，求出P、Q的坐標(biāo)即可得出結(jié)論。（3）根據(jù)題意設(shè)出PQ的直線方程代入橢圓方程利用弦長公式求出再求出原點到直線的距離即可得△OPQ的面積，然后利用基本不等式即可求出最大值。