Question

已知f（x）=

1 x +x2 x∈(1，e) 1-x2 x∈[-1，1]

，則

∫

e  -1

f(x)dx=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)的定積分的運(yùn)算和定積分的幾何意義，計(jì)算即可

解答： 解：

∫

e  -1

f(x)dx=

∫

1 -1

1-x2

dx+

∫

e 1

（

1

x

+x²）dx
因?yàn)?span id="pxujzhi" class="MathJye">

∫

1 -1

1-x2

dx幾何意義是以原點(diǎn)為圓心以1為半徑的圓的面積的二分之一，
故

∫

1 -1

1-x2

dx=

π

2

，
因?yàn)?span id="ufkopbc" class="MathJye">

∫

e 1

（

1

x

+x²）dx=（lnx+

1

3

x³）|

e 1

=lne+

1

3

e³-ln1-

1

3

=

2

3

+

e3

3

，
所以

∫

e  -1

f(x)dx=

∫

1 -1

1-x2

dx+

∫

e 1

（

1

x

+x²）dx=

π

2

+

2

3

+

e3

3

．
故答案為：

π

2

+

2

3

+

e3

3

．

點(diǎn)評：本題考查定積分的運(yùn)算性質(zhì)及微積分基本定理以及定積分的幾何意義，熟記微積分基本定理是解決問題的關(guān)鍵．