Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數(shù)），取與直角坐標(biāo)系xOy相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的圓心是（

2

，

π

4

），半徑r=

2

．
（1）求直線l的普通方程和圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

消去x即可得到直線的直角坐標(biāo)方程，化圓的圓心的極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)，寫出圓的直角坐標(biāo)方程，然后結(jié)合x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）聯(lián)立直線與圓的方程，得4y²-2y-1=0，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用弦長公式求得|AB|，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出C到AB的距離，代入三角形的面積公式得答案．

解答： 解：（1）由

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

，得x+

3

y-1=0；
圓C的圓心是（

2

，

π

4

），即（

2

cos

π

4

，

2

sin

π

4

）=（1，1），
半徑為

2

，則圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=2，也就是x²+y²-2x-2y=0，
由x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圓C的極坐標(biāo)方程是ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ=0，即ρ=2（cosθ+sinθ）；
（2）聯(lián)立

x+ 3 y-1=0 (x-1)2+(y-1)2=2

，得4y²-2y-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=

1

2

，y1y2=-

1

4

．
∴|AB|=

1+3

•

( 1 2 )2-4(- 1 4 )

=

5

．
點(diǎn)C到直線AB的距離d=

|1+ 3 -1|

12+( 3 )2

=

3

2

．
∴S△ABC=

1

2

×

5

×

3

2

=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，是中檔題．