1.已知y2=8x的焦點(diǎn)為F,則過(guò)F點(diǎn)且傾斜角為60°的直線(xiàn)被拋物線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為(  )
A.8B.$4\sqrt{3}$C.$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$D.$\frac{32}{3}$

分析 求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(2,0),直線(xiàn)的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$,從而得到直線(xiàn)的方程.直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)解消去y得3x2-20x+12=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=$\frac{20}{3}$,再根據(jù)拋物線(xiàn)的定義加以計(jì)算,即可得到直線(xiàn)被拋物線(xiàn)截得的弦長(zhǎng).

解答 解:∵拋物線(xiàn)方程為y2=8x,2p=8,$\frac{p}{2}$=2,∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是F(2,0).
∵直線(xiàn)的傾斜角為60°,∴直線(xiàn)斜率為k=tan60°=$\sqrt{3}$
可得直線(xiàn)方程為:y=$\sqrt{3}$(x-2),
設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)解,消去y得3x2-20x+12=0,
∴x1+x2=$\frac{20}{3}$,
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義,可得|AF|=x1+$\frac{p}{2}$=x1+2,|BF|=x2+$\frac{p}{2}$=x2+2,
∴|AB|=x1+x2+4=$\frac{32}{3}$,即直線(xiàn)被拋物線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為$\frac{32}{3}$.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題給出經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)傾斜角為60°,求直線(xiàn)被拋物線(xiàn)截得的弦長(zhǎng).著重考查了拋物線(xiàn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等知識(shí),屬于中檔題.

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(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)△AOB的面積是否為定值?若為定值,試求出該定值;若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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