Question

5．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上一點與其左頂點、右焦點構(gòu)成以右焦點為直角頂點的等腰三角形，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出左頂點為A（-a，0），右焦點為F（c，0），由條件可得|PF|=|AF|，且PF⊥x軸，可得|PF|=a+c，令x=c，代入計算可得|PF|=$\frac{^{2}}{a}$，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線上一點為P，左頂點為A（-a，0），右焦點為F（c，0），
由題意可得|PF|=|AF|，且PF⊥x軸，
可得|PF|=a+c，
由x=c代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
可得a（a+c）=b²=c²-a²=（c-a）（c+a），
即為c=2a，可得e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用等腰直角三角形的概念，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．