Question

1．觀察以下等式：$1+2+3+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$；$1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=\frac{n×（n+1）×（n+2）}{3}$；            $1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n×（n+1）×（n+2）=\frac{n×（n+1）×（n+2）×（n+3）}{4}$猜想式子1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+…+n×（n+1）×（n+2）（n+3）的和S_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 檢驗n=1時等式成立，假設(shè)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．

解答 解：猜想S_n=$\frac{n×（n+1）×（n+2）×（n+3）（n+4）}{5}$，
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
證明：①當(dāng)n=1時，1×（1+1）×（1+2）（1+3）=24，s₁=$\frac{1×2×3×4×5}{5}$=24，結(jié)論成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時成立，結(jié)論成立，即S_k=$\frac{1}{5}$k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4），
那么當(dāng)n=k+1時，S_k+1=1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+…+k×（k+1）×（k+2）（k+3）+（k+1）×（k+2）（k+3）（k+4）=$\frac{1}{5}$k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）+（k+1）×（k+2）（k+3）（k+4）=$\frac{1}{5}$（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5），
∴當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立，
由①②可得，對任意n∈N*，S_n=$\frac{n×（n+1）×（n+2）×（n+3）（n+4）}{5}$都成立．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，用歸納法證明數(shù)學(xué)命題時的基本步驟：（1）檢驗n=1成立（2）假設(shè)n=k時成立，由n=k成立推導(dǎo)n=k+1成立，要注意由歸納假設(shè)到檢驗n=k+1的遞推．