Question

2．已知不等式 e^x≥x+1，對任意的x∈R恒成立．現(xiàn)有以下命題：
①對?x∈R，不等式e^-x＞1-x恒成立；
②對?x∈（0，+∞），不等式ln（x+1）＜x恒成立；
③對?x∈（0，+∞），且x≠1，不等式lnx＜x-1恒成立；
④對?x∈（0，+∞），且x≠1，不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}$恒成立．
其中真命題的有①②③④（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析 ①由已知不等式e^x≥x+1，結合對稱性可得e^-x＞1-x恒成立；
②把已知不等式兩邊取對數(shù)可得不等式ln（x+1）＜x恒成立；
③直接利用導數(shù)證明不等式lnx＜x-1恒成立；
④對x分類證明對?x∈（0，+∞），且x≠1，不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}$恒成立．

解答 解：①由e^x≥x+1對任意的x∈R恒成立，如圖，
結合對稱性可知，對?x∈R，不等式e^-x＞1-x恒成立，故①正確；
②由e^x≥x+1，且x∈（0，+∞），
兩邊取對數(shù)，得x＞ln（x+1），即ln（x+1）＜x，故②正確；
③令f（x）=lnx-x+1，則f′（x）=$\frac{1}{x}-1$=$\frac{1-x}{x}$，
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）_max=f（1）=0，則lnx-x+1＜0，即lnx＜x-1，故③正確；
④當x∈（0，+∞），且x≠1時，不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}$等價于$\frac{2}{{x}^{2}-1}lnx-\frac{1}{x}＜0$，
即$\frac{1}{x}＞\frac{2}{{x}^{2}-1}lnx$，
若x∈（0，1），則$\frac{{x}^{2}-1}{2x}＜lnx$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}-lnx$，g′（x）=$\frac{4{x}^{2}-2{x}^{2}+2}{4{x}^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{（x-1）^{2}}{4{x}^{2}}＞0$，
∴g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，則g（x）＜g（1）=0，即$\frac{{x}^{2}-1}{2x}＜lnx$；
若x∈（1，+∞），則$\frac{{x}^{2}-1}{2x}＞lnx$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}-lnx$，g′（x）=$\frac{4{x}^{2}-2{x}^{2}+2}{4{x}^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{（x-1）^{2}}{4{x}^{2}}＞0$，
∴g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，則g（x）＞g（1）=0，即$\frac{{x}^{2}-1}{2x}＞lnx$．
∴不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}$恒成立．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，是中檔題．