Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

（sinx+cosx）-

1

2

|sinx-cosx|，x∈[0，2π]，則f（x）的值域是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：去絕對值號，將函數(shù)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，分段求值域，在化為分段函數(shù)時應(yīng)求出每一段的定義域，由三角函數(shù)的性質(zhì)求之．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

1

2

（sinx+cosx）-

1

2

|sinx-cosx|=

cosx，sinx≥cosx sinx，sinx＜cosx

=

cosx，x∈[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] sinx，x∈(2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 )

，
∴當(dāng) x∈[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]時，f（x）=sinx∈[-1，

2

2

]，
當(dāng) x∈[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]時，f（x）=cosx∈[-1，

2

2

]，
故函數(shù)的值域為[-1，

2

2

]，
故答案為：[-1，

2

2

]．

點評：本題考點是在角函數(shù)求值域，表達(dá)式中含有絕對值，故應(yīng)先去絕對值號，變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，再分段求值域，屬于中檔題．