Question

14．（1）已知命題p：|x²-x|≥6，q：x∈Z且“p且q”與“非q”同時為假命題，求x的值．
（2）已知p：x²-8x-20≤0，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解絕對值不等式|x²-x|≥6，我們可以求出命題p成立時，x的取值范圍，再由p且q與非q都是假命題，可得x應(yīng)滿足P假且q真，由此構(gòu)造關(guān)于x的不等式組，解不等式組即可得到x的取值范圍；
（2）由絕對值不等式及一元二次不等式的解法，得到p，q的等價(jià)命題．又由￢p是￢q的必要而不充分條件的等價(jià)命題為：p是q的充分不必要條件，再由判斷充要條件的方法，我們可知命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件，得到A、B的關(guān)系，進(jìn)而得到m的取值范圍．

解答 解：（1）∵非q是假，則q是真，
又∵P且q是假∴P假即非P真，
∴|x²-x|＜6，且x∈Z，
∴-6＜x²-x＜6且x∈Z，
即 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x＞-6}\\{{x}^{2}-x＜6}\\{x∈Z}\end{array}\right.$，
解之得：$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜3}\\{x∈Z}\end{array}\right.$，
∴x=-1，0，1，2；
（2）由題知，若?p是?q的必要不充分條件的等價(jià)命題為：p是q的充分不必要條件．
由x²-8x-20≤0，解得-2≤x≤10，
∴p：-2≤x≤10；
由x²-2x+1-m²≤0（m＞0），整理得[x-（1-m）][x-（1+m）]≤0  
解得 1-m≤x≤1+m，
∴q：1-m≤x≤1+m
又∵p是q的充分不必要條件
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m≤-2}\\{1+m≥10}\end{array}\right.$，∴m≥9，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[9，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查的判斷充要條件的方法，但解題的關(guān)鍵是絕對值不等式及一元二次不等式的解法．我們可以根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷，也可根據(jù)命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件，則A?B．