Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）若函數(shù)的圖象與直線(xiàn)相切，求的值；

（2）求在區(qū)間上的最小值；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， ，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) （2）（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)和曲線(xiàn)相切得到， ，聯(lián)立兩式消元即可得到參數(shù)值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)分， ， 幾種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)最值即可；（3）根據(jù)題意得到函數(shù)不單調(diào)，故得到時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，若由兩個(gè)相異零點(diǎn)，則必有，解不等式即可。

解析：

（1）設(shè)切點(diǎn)，因切線(xiàn)方程為，

所以 ，①

又，②

由①得，③，將③代入②得，

所以，因?yàn)?/span>在上遞增，則是唯一根，

所以切點(diǎn)，代入切線(xiàn)方程得．

（2）因?yàn)?/span>，

所以 ，因，

當(dāng)時(shí)， ，則在上單調(diào)遞增；

所以在遞增，則；

當(dāng)時(shí)， 有， 有，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則當(dāng)時(shí)， 在遞減，則；

當(dāng)時(shí)， 在遞增，則；

當(dāng)時(shí)， 在遞減，在遞增，則．

綜上有

（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，若由兩個(gè)相異零點(diǎn)，則必有，

即，則．