Question

【題目】已知函數(shù)．

判斷在定義域上的單調(diào)性；

若在上的最小值為2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）先確定f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），再求導(dǎo)，由“f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)f'（x）＜0，f（x）在為減函數(shù)”判斷，要注意定義域和分類討論．

（2）因?yàn)?/span>，x＞0．由（1）可知當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，f（x）min＝f（1）；當(dāng)0＜﹣a≤1時(shí)，；f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)，f（x）min＝f（1）；當(dāng)1＜﹣a＜e時(shí)；f（x）在[1，﹣a]上是減函數(shù)，在（﹣a，e]上是增函數(shù)，f（x）min＝f（﹣a）；當(dāng)﹣a≥e時(shí)，；f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，f（x）min＝f（e）；最后取并集．

（1）由題意得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），．（0，+∞）

①當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在上為增函數(shù)；

②當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）＝0得x＝﹣a；由f'（x）＞0得x＞﹣a；由f'（x）＜0得x＜﹣a；

∴f（x）在（0，﹣a]上為減函數(shù)；在（﹣a，+∞）上為增函數(shù)．

所以，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，﹣a]上是減函數(shù)，在（﹣a，+∞）上是增函數(shù)．

（2）∵，x＞0．由（1）可知：

①當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，得a＝﹣2，矛盾!

②當(dāng)0＜﹣a≤1時(shí)，即a≥﹣1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，∴a＝﹣2（舍去）．

③當(dāng)1＜﹣a＜e時(shí)，即﹣e＜a＜﹣1時(shí)，f（x）在[1，﹣a]上是減函數(shù)，在（﹣a，e]上是增函數(shù)，

∴f（x）min＝f（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝2，得a＝﹣e（舍去）．

④當(dāng)﹣a≥e時(shí)，即a≤﹣e時(shí)，f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，有，

∴a＝﹣e．

綜上可知：a＝﹣e．