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6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC⊥PB,△BCD為等邊三角形,PA=BD=3,AB=AD,E為PC的中點(diǎn).
(1)求證:BC⊥AB;
(2)求AB的長;
(3)求平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值.

分析 (1)連結(jié)AC,推導(dǎo)出PA⊥BC,BC⊥PB,從而BC⊥平面PAB,由此能證明AB⊥BC.
(2)推導(dǎo)出AB⊥BC,∠ABD=30°,由此能求出AB.
(3)分別以BC,BA所在直線為x,y軸,過B且平行PA的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值.

解答 證明:(1)連結(jié)AC,
∵PA⊥底面ABCD,BC?平面ABCD,∴PA⊥BC,
又∵BC⊥PB,PA∩PB=P,∴BC⊥平面PAB,
∵AB?平面PAB,
∴AB⊥BC.
解:(2)由(1)知AB⊥BC,
∵△BCD為等邊三角形,∴∠ABD=30°,
又AB=AD,BD=3,
解得AB=1.
(3)分別以BC,BA所在直線為x,y軸,過B且平行PA的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
P013,C300,E321232,D32320
由題意可知平面PAB的法向量m=100,
設(shè)平面BDE的法向量為n=xyz,
{BEn=0BDn=0{32x+12y+32z=032x+32y=0,
取x=3,得n=332,
cosmn=3×13×02×032+32+22=34,
∴平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值為74

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查線的求法,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為45°或135°;
(2)若曲線x24+k+y21k=1表示雙曲線,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,-4)∪(1,+∞);
(3)已知雙曲線方程為x2-y22=1,則過點(diǎn)P(1,1)可以作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),使點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn).
其中正確命題的序號(hào)是(1)(2)(3).

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14.函數(shù)y=cos6x2x2x的圖象大致為( �。�
A.B.C.D.

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1.使不等式2x8x成立的x的取值范圍為(-∞,0)∪(2,+∞).

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18.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是( �。�
A.y=x+1B.y=-x3C.y=x|x|D.y=1x

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15.在邊長為4的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E為CD的中點(diǎn),則AEBD=( �。�
A.4B.8C.-6D.-4

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16.已知定義在[-1,1]的函數(shù)滿足f(-x)=-f(x),當(dāng)a,b∈[-1,0)時(shí),總有fafbab>0(a≠b),若f(m+1)>f(2m),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是12m0

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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