分析 (1)連結(jié)AC,推導(dǎo)出PA⊥BC,BC⊥PB,從而BC⊥平面PAB,由此能證明AB⊥BC.
(2)推導(dǎo)出AB⊥BC,∠ABD=30°,由此能求出AB.
(3)分別以BC,BA所在直線為x,y軸,過B且平行PA的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值.
解答 證明:(1)連結(jié)AC,
∵PA⊥底面ABCD,BC?平面ABCD,∴PA⊥BC,
又∵BC⊥PB,PA∩PB=P,∴BC⊥平面PAB,
∵AB?平面PAB,
∴AB⊥BC.
解:(2)由(1)知AB⊥BC,
∵△BCD為等邊三角形,∴∠ABD=30°,
又AB=AD,BD=√3,
解得AB=1.
(3)分別以BC,BA所在直線為x,y軸,過B且平行PA的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
P(0,1,√3),C(√3,0,0),E(√32,12,√32),D(√32,32,0).
由題意可知平面PAB的法向量→m=(1,0,0),
設(shè)平面BDE的法向量為→n=(x,y,z),
則{→BE•→n=0→BD•→n=0即{√32x+12y+√32z=0√32x+32y=0,
取x=3,得→n=(3,−√3,−2),
cos<→m,→n>=3×1−√3×0−2×0√32+(−√3)2+(−2)2=34,
∴平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值為√74.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查線的求法,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | y=x+1 | B. | y=-x3 | C. | y=x|x| | D. | y=1x |
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A. | 4 | B. | 8 | C. | -6 | D. | -4 |
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