Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x+4
（1）證明：函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）證明：方程f（x）=0沒有大于1的根．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，繼而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，問題得以證明；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，先求出極值，得到極值都大于0，故f（x）=0只有一個(gè)小于-1的實(shí)根，問題得以證明

解答： 證明：（1）∵f（x）=x³-3x+4，
∴f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=0，解得x=-1，x=1
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞1或x＜-1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）為增函數(shù)，在（-1，1）為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為f（-1）=-1+3+4=6＞0，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為f（1）=1-3+4=2＞0
∴f（x）=0只有一個(gè)小于-1的實(shí)根，
∴方程f（x）=0沒有大于1的根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性極值的關(guān)系，屬于中檔題