Question

【題目】已知：直線，一個圓與軸正半軸與軸正半軸都相切，且圓心到直線的距離為．

（）求圓的方程．

（）是直線上的動點， ， 是圓的兩條切線， ， 分別為切點，求四邊形的面積的最小值．

（）圓與軸交點記作，過作一直線與圓交于， 兩點， 中點為，求最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）圓的方程可設為， ，圓心到直線的距離為，由點到直線距離列方程求解即可；

（2）分析可得當斜邊取最小值時， 也最小，即四邊形的面積最小，從而可得最小面積；

（3），取關于原點的對稱點坐標，連接， ，可知為的中位線，所以要使最大，則最大即可.

試題解析：

（）解：圓與， 軸正半軸都相切，

∴圓的方程可設為， ，

圓心到直線的距離為，

∴由點到直線距離公式得，解得，

∴半徑．

∴圓的方程為．

（）解： ， 是圓的兩條切線， ， 分別為切點，

∴≌，

∴，

是圓的切線，且為切點，

∴，

，

，

∴當斜邊取最小值時， 也最小，即四邊形的面積最小．

即為到的距離，

由（）知，

∴，

即∴，

∴，

∴四邊形面積的最小值為．

（）解：依題，點坐標，

如圖，取關于原點的對稱點坐標，連接， ，

則為的中位線，

所以， ，

所以，要使最大，則應最大，

所以，如圖，當點為的延長線與圓的交點時，

，

．

，

即的最大值為： ．