Question

4．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），P點的極坐標為（2，π），曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=sinθ．
（Ⅰ）試將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并求曲線C的焦點坐標；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于兩點A，B，點M為AB的中點，求|PM|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲線C的方程ρcos²θ=sinθ，可得曲線C的直角坐標方程．
（Ⅱ）設點A，B，M對應的參數(shù)為t₁，t₂，t₀ ，由題意可知${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}$．把直線l的參數(shù)方程代入拋物線的直角坐標方程，利用韋達定理求得t₁+t₂的值，可得|PM|=|t₀|的值．

解答 解：（Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρcos²θ=sinθ，可得曲線C的直角坐標方程為x²=y，
它是開口向上的拋物線，焦點坐標為$（{0，\frac{1}{4}}）$．
（Ⅱ）點P的直角坐標為（-2，0），它在直線l上，在直線l的參數(shù)方程中，
設點A，B，M對應的參數(shù)為t₁，t₂，t₀ ，由題意可知${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}$．
把直線l的參數(shù)方程代入拋物線的直角坐標方程，得${t^2}-5\sqrt{2}t+8=0$．
因為$△=（5\sqrt{2}{）^2}-4×8=18＞0$，
所以${t_1}+{t_2}=5\sqrt{2}，\;\;\;\;\;則|{PM}|=|{t_0}|=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題主要考查參數(shù)方程和極坐標的應用，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．