Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），P點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，π），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=sinθ．
（Ⅰ）試將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，求|PM|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲線C的方程ρcos²θ=sinθ，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B，M對應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，t₀ ，由題意可知${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}$．把直線l的參數(shù)方程代入拋物線的直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理求得t₁+t₂的值，可得|PM|=|t₀|的值．

解答 解：（Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρcos²θ=sinθ，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²=y，
它是開口向上的拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為$（{0，\frac{1}{4}}）$．
（Ⅱ）點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（-2，0），它在直線l上，在直線l的參數(shù)方程中，
設(shè)點(diǎn)A，B，M對應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，t₀ ，由題意可知${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}$．
把直線l的參數(shù)方程代入拋物線的直角坐標(biāo)方程，得${t^2}-5\sqrt{2}t+8=0$．
因?yàn)?△=（5\sqrt{2}{）^2}-4×8=18＞0$，
所以${t_1}+{t_2}=5\sqrt{2}，\;\;\;\;\;則|{PM}|=|{t_0}|=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)的應(yīng)用，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．