Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率；
（2）當a≠

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時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）抓住兩點①切點是公共點，代入曲線方程求出f（1）的值；②切點處的導數(shù)是切點的斜率．
（2）先求導數(shù)，令導數(shù)等于零找到所有可能的極值點，再通過列表法具體判斷，注意對極值點大小的討論．

解答： 解：（1）當a=0時，f（x）=x²e^x，f′（x）=（x²+2x）e^x，故f′（1）=3e．
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為3e．
（2）f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x=（x+2a）•[x-（a-2）]e^x，
令f′（x）=0，解得x=-2a，或x=a-2，
由a≠

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知，-2a≠a-2．
以下分兩種情況討論：
①若a＞

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，則-2a＜a-2，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2a）	-2a	（-2a，a-2）	a-2	（a-2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）上是增函數(shù)，在（-2a，a-2）上是減函數(shù)．
函數(shù)f（x）在x=-2a處取得極大值為f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a．
函數(shù)f（x）在x=a-2處取得極小值為f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2．
②若a＜

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，則-2a＞a-2，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，a-2）	a-2	（a-2，-2a）	-2a	（-2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）上是增函數(shù)，在（a-2，-2a）上是減函數(shù)．
函數(shù)f（x）在x=a-2處取得極大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2．
函數(shù)f（x）在x=-2a處取得極小值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a．

點評：切線問題是高考的熱點，難度不大，只要抓住切點滿足的兩個條件，一般都能解決問題；第二問研究極值點一般要列表來解決問題．