Question

已知二次函數(shù)y=x²-2ax+5（a為常數(shù)）．
（1）如果函數(shù)圖象的對稱軸為x=3，求實數(shù)a的值并做出函數(shù)的圖象；
（2）求此函數(shù)在x∈[0，2]上的最小值；
（3）當(dāng)x∈[0，2]時，此函數(shù)恒小于6，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先把函數(shù)的一般是變成頂點式，根據(jù)對稱軸的方程確定a的值．
（2）根據(jù)函數(shù)的不定軸和定區(qū)間的討論求的最小值．
（3）根據(jù)函數(shù)的不定軸和定區(qū)間的討論求的最大值，然后根據(jù)恒成立問題進(jìn)行討論求的結(jié)果．

解答： 解：（1）已知二次函數(shù)y=x²-2ax+5=（x-a）²+5-a²
如果函數(shù)圖象的對稱軸為x=3
∴a=3

（2）由（1）得：
①當(dāng)0≤a≤2時，f(x)min=f(a)=5-a2
②當(dāng)a＞2時，f（x）_min=f（2）=9-4a
③當(dāng)a＜0時，f（x）_min=f（0）=5
（3）①當(dāng)0≤a＜1時，f（x）_max=f（2）=9-4a  此函數(shù)恒小于6，只需f（x）_max=9-4a＜6
所以：a＞

3

4

實數(shù)a的取值范圍：1＞a＞

3

4

②當(dāng)a=1時，f（x）_max=f（0）=5 此函數(shù)恒小于6
實數(shù)a的取值范圍：a=1
③當(dāng)1＜a＜2時：時，f（x）_max=f（0）=5此函數(shù)恒小于6
實數(shù)a的取值范圍：1＜a＜2
④當(dāng)a≥2時f（x）_max=f（0）=5此函數(shù)恒小于6
實數(shù)a的取值范圍：a≥2
⑤a≤0時，f（x）_max=f（2）=9-4a此函數(shù)恒小于6，只需f（x）_max=9-4a＜6
所以：a＞

3

4

實數(shù)a的取值范圍：Φ
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍：a＞

3

4

故答案為：（1）a=3
（2）①當(dāng)0≤a≤2時，f(x)min=f(a)=5-a2
②當(dāng)a＞2時，f（x）_min=f（2）=9-4a
③當(dāng)a＜0時，f（x）_min=f（0）=5
（3）實數(shù)a的取值范圍：a＞

3

4

點評：本題考查的知識點：二次函數(shù)的頂點式與一般式的互化，定區(qū)間與不定軸之間的討論，函數(shù)的恒成立問題及相關(guān)的運算問題．