Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-（1+a）x+

1

2

x²，a∈R
（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

1

e

，+∞）時(shí)f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

(x-1)(x-a)

x

，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）＞0可得0＜x＜a或x＞1；由f′（x）＜0可得a＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，1），
∴x=a時(shí)，取得極大值alnz-（1+a）a+

1

2

a²，x=1時(shí)，取得極小值-

1

2

-a；
（Ⅱ）∵f（1）=-

1

2

-a，
∴顯然a＞0時(shí)，f（1）＜0，此時(shí)f（x）≥0對x∈[

1

e

，+∞）內(nèi)的任意x不是恒成立的；
當(dāng)a≤0時(shí)，得函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，+∞）的極小值、也是最小值即是f（1）=-

1

2

-a，
此時(shí)只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

．