Question

已知正三棱錐P-ABC側(cè)棱長(zhǎng)為1，且PA、PB、PC兩兩垂直，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑作一個(gè)球，則球面與正三棱錐的表面相交得到一條封閉的曲線，則這條封閉曲線的長(zhǎng)度為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)以頂點(diǎn)A為球心，為半徑作一個(gè)球，球面與正三棱錐的表面相交得到一條封閉的曲線是EFNM，如圖所示．正確分析與各面的交線結(jié)合弧長(zhǎng)公式即可求出答案．
解答：解：設(shè)以頂點(diǎn)A為球心，為半徑作一個(gè)球，球面與正三棱錐的表面相交得到一條封閉的曲線是EFNM，如圖所示．
則AE=AF=AM=AN=，
在直角三角形APE中，cos∠PAE=，∴∠PAE=，
∴=（）×=，
同理=；
在直角三角形PBC中，∠BPC=，PE=PF=，
∴=×=，
在等邊三角形ABC中，MN=AM=，∠MAN=，
∴==．
則這條封閉曲線的長(zhǎng)度為 =．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查球面距離及相關(guān)計(jì)算、正方體的幾何特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．