Question

17．已知點(diǎn)A是拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，以|FA|為半徑的圓交準(zhǔn)線于B，C兩點(diǎn)，△FBC為正三角形，且△ABC的面積是$\frac{128}{3}$，則拋物線的方程是（　�。�

• A． y²=12x
• B． y²=14x
• C． y²=16x
• D． y²=18x

Answer 1

分析 由等邊三角形的性質(zhì)可得|BF|=|AF|=$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，由拋物線的定義和三角形的面積公式，計(jì)算即可得到p=8，進(jìn)而得到拋物線方程．

解答 解：由題意可得$\frac{|DF|}{|BF|}$=cos30°且|DF|=p，
可得|BF|=$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，從而|AF|=$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，
由拋物線的定義可得A到準(zhǔn)線的距離也為$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，
又△ABC的面積為$\frac{128}{3}$，
可得$\frac{1}{2}$•$\frac{2p}{\sqrt{3}}$•$\frac{2p}{\sqrt{3}}$=$\frac{128}{3}$，
解得p=8，則拋物線的方程為y²=16x．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用定義法解題，考查等邊三角形的性質(zhì)，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．