Question

7．已知函數(shù)f （x）=x²-x|x-a|-3a，a≥3．若函數(shù)f （x）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，則|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{1}{3}$，1]
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 當(dāng)a≥3的取值范圍結(jié)合函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，利用韋達(dá)定理寫出x₁+x₂，x₁•x₂的表達(dá)式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：f （x）=x²-x|x-a|-3a=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-ax-3a，}&{x≤a}\\{ax-3a，}&{x＞a}\end{array}\right.$，a≥3，
當(dāng)x＞a＞3，令f（x）=0，ax-3a=0，x=3，不滿足，
x≤a時(shí)，函數(shù)f （x）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，
令f（x）=0，則可得x₁，x₂是方程2x²-ax-3a=0的兩個(gè)根，
則：x₁+x₂=$\frac{a}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{3a}{2}$，
|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|=$\frac{丨{x}_{1}-{x}_{2}丨}{{丨x}_{1}{x}_{2}丨}$=$\frac{\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}}{{丨x}_{1}{x}_{2}丨}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+24a}}{3a}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{1+\frac{24}{a}}$∈（$\frac{1}{3}$，1]，
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．