Question

5．已知拋物線C：y=$\frac{1}{2}$x²，過點(diǎn)Q（1，1）的動直線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，分別以A，B為切點(diǎn)作拋物線的切線l₁，l₂，直線l₁，l₂交于點(diǎn)P
（Ⅰ）求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）求△PAB面積的最小值，并求出此時直線AB的方程．

Answer 1

分析 （I）設(shè)A，B點(diǎn)坐標(biāo)，求出l₁，l₂的方程，聯(lián)立方程組解出P點(diǎn)坐標(biāo)，再使用直線AB的點(diǎn)斜式方程得出P點(diǎn)坐標(biāo)，得出P的軌跡的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為普通方程．
（II）求出|AB|及P到直線AB的距離，代入面積公式得出面積關(guān)于直線AB的斜率k的函數(shù)，得出函數(shù)的最小值．

解答 解：（I）設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$），以A為切點(diǎn)的切線為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$=x₁（x-x₁），整理得：y=x₁x-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$．
同理：以B為切點(diǎn)的切線為：y=x₂x-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}_{1}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}}\\{y={x}_{2}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{{x}_{1}}_{\;}{x}_{2}}{2}$）．
不妨設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-1），
 聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$得：x²-2kx+2k-2=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=2k-2，
∴P（k，k-1），
∴點(diǎn)P的軌跡方程為y=x-1．
（II）由（1）知：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{{k}^{2}-2k+2}$．
P（k，k-1）到直線AB的距離為：d=$\frac{|{k}^{2}-2k+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\sqrt{（{k}^{2}-2k+2）^{3}}$=$\sqrt{[（k-1）^{2}+1]^{3}}$．
∴k=1時，S取得最小值1，此時直線AB的方程為y=x．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，屬于中檔題．