Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-e^x+mx，其中m∈R，函數(shù)g（x）=f（x）+e^x+1．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)m=-e時(shí)，
（i）求函數(shù)g（x）的最大值；
（ii）記函數(shù)φ（x）=|g（x）|-$\frac{g（x）+ex-1}{x}$-$\frac{1}{2}$，證明：函數(shù)φ（x）沒有零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出m=1的函數(shù)f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）（i）當(dāng)m=-e時(shí)，求得g（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，以及單調(diào)區(qū)間，即可得到所求最大值；
（ii）求得函數(shù)φ（x）的解析式，令φ（x）=0，可得|lnx-ex+1|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，（*）由h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，求出導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間，可得h（x）的最大值，由|g（x）|的最小值為1，即可判斷．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx-e^x+x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x+1，
可得函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為2-e，切點(diǎn)為（1，1-e），
即有函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y-（1-e）=（2-e）（x-1），
即為y=（2-e）x-1；
（Ⅱ）（i）當(dāng)m=-e時(shí)，g（x）=f（x）+e^x+1=lnx-ex+1，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-e，當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞增．
可得g（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極大值，且為最大值-1；
（ii）證明：函數(shù)φ（x）=|g（x）|-$\frac{g（x）+ex-1}{x}$-$\frac{1}{2}$
=|lnx-ex+1|-（$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$），
令φ（x）=0，可得|lnx-ex+1|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，（*）
由h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)y遞減；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）遞增．
即有函數(shù)h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$的最大值為h（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$＜1；
由（i）可得g（x）≤-1，即有|g（x）|≥1，
則方程（*）無(wú)解．
即有函數(shù)φ（x）沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．